绕y轴旋转体体积公式

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Vy=∫（2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx

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将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x。

则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱。

该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x。

该圆环柱的高为f(x)。

所以当n趋向无穷大时，Vy=∫（2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

几何学发展

几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。暂时的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。

在分割取点求和求极限的过程中，我们对[a,b]区间进行划分，对每个小区间上进行取点，以f(ζi)作为每个小长方形的高度。我们得到了每个小方向的面积，也得到了一个和式，当我们将区间划分的非常密集（区间长度很小时），就得到了一个极限。当然这个极限如果与分割的方式和取点的方式无关，那么我们就可以把这样的和式极限称为定积分，并给出了记号。

微元法的本质其实是对这个记法的说明和统一。我们在计算小长方形时，每个长方形的计算方式都是统一的，都是以f(ζi)作为每个小长方形的高度，那么f(x)可以认为成是这些高度的一个“代表”，是对所有这样的f(ζi)一个统一的表达。那么被积函数的部分我们认为就是f(x)。

换句话说，只要我们在和式极限中出现了∆xi，剩下的部分就可以认为成是被积函数的一个代表。

在旋转体中，我们认为平面图形由众多的长方形组成，平面图形的旋转带动了这些长方形的旋转，长方形的旋转就变成了圆柱体。也就是说，我们认为这些图形的旋转体的体积可以由众多的圆柱体的体积之和来近似。

这同样是一个和式的极限。

每个圆柱体都是底面积乘以高。这里的高就是区间的长度∆xi，由于是长方形旋转，即这里的底面积是圆，圆的半径是f(ζi)，即f(ζi)的平方*π。

近似计算法

由于区间的划分会非常的细。即∆xi趋于0，这就导致大圆柱体的底面半径和小圆柱体的底面半径是非常接近，几乎是相等的。

那么我们认为圆环底面的面积可以是圆的周长（2πx）乘以圆环的厚度（∆xi）来近似，再乘以体高f(ζi)，同样能得到相同结果。