变限积分求导公式

问题描述

精选答案

Φ ′ ( x ) = d d x ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) − f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x )

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无忧考研

如果函数f ( x ) f(x) f(x)连续，ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x) 和φ ( x ) \varphi(x) φ(x)可导，那么变限积分函数的求导公式可表示为 Φ ′ ( x ) = d d x ∫ ϕ ( x ) φ ( x ) f ( t ) d t = f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) − f [ ϕ ( x ) ] ϕ ′ ( x )。

变上限积分函数求导的原理

变上限积分函数求导的原理就是微积分第一基本定理。如果被积函数(f (x)) 在( [a,b]) 连续，那么变上限积分函数(int_a^xf (t)dt) 在( [a,b]) 可导，且(frac {int_a^xf (t)dt} {dx}=f (x))

简单来说，就是变上限积分函数是被积函数的一个原函数，当然求导数后得到的是被积函数了。有些读者高中是理科生，学过定积分的初步内容，知道"牛顿-莱布尼兹公式"，也就是微积分第二基本定理。虽然从逻辑上讲，我们是用这个定理推得的"牛顿-莱布尼兹公式"，但是理解起来可以借用更熟悉的"牛顿-莱布尼兹公式"理解这个定理。

该如何理解这个定义呢

首先变上限积分函数建立在给定的连续函数f(x)上，那么它在一个区间定积分值仅和积分上限和积分下限有关。如果积分下限a固定了，那么对于每一个x作为函数的积分上限，都有一个对应的积分值，因而这就形成了一个函数关系。我们注意到被积函数的自变量换用了字母t，其实一个函数自变量用什么字母是无所谓的，换用字母是为了防止被积函数的变量和上限混同，t并不是真正的函数变量，只不过是形式上的一个记号。

变上限积分函数参与运算的类型

这里指的是待求导的函数有一部分是变上限积分函数，它参与了四则运算。这种情况下求导函数同一般的四则运算求导并没有什么区别，该怎么求就怎么求。疑难点无非在于不习惯出现变上限积分函数，习惯以后就不是问题了。

自变量与积分变量不可分离型

被积函数含有的自变量和积分变量的表达式不容易分离的情况，我们要考虑先进行变量代换，变成新积分变量和自变量可以分离的类型。