正余弦定理求三角形周长的范围

问题描述

精选答案

题目是这样的：已知锐角三角形的∠A=60°和对边的边长a=4，求周长范围和面积的极值。

在没有解题之前我们先回忆一下余弦定理和正弦定理。余弦定理：正弦定理：a/sina=b/sinb=c/sinc，以及有正弦定理推导出的三角形的面积公式：S=1/2·bcsin∠A。今天就用这两个公式来求这道题。将∠A=60°，a=4代入余弦定理a=b+c-2*b*c*cos∠A可知：16=b+c-2*b*c*1/2.整理后可得：（b-c）=16-bc ①（b+c）=16+3bcb+c =②由于在三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得b+c>a ③b-c<a ④设周长为l，则l=a+b+c＞2a=8；由①可知：16-bc≥0，则bc≤16； ⑤由②可知：；则l=a+b+cl=a+√16+3bc由于bc≤16，所以√16+3bc≤a+√16+3×1=4+8=12l=a+≤a+=4+8=12所以：12≥l＞8这样我们就求出来周长的范围。下面我们来求面积的极值。由面积公式可知：S△ABC=1/2·bcsin∠A。所以当把∠A=60°代入面积公式可得：S△ABC=1/2·bc·/2由⑤可知：bc≤16；则S△ABC≤4所以三角形ABC的面积极值为4，且当a=b=c时有最大值！