周长相等的三角形、圆形和正方形,哪个的面积最大?

圆形的面积最大。比如周长都是10。圆的半径是2πr=10，r=1.59，面积是πr^2=7.94。正方形的边长是4a=10，a=2.5，面积是a*a=6.25。等边三角形的边长是3b=10，b=3.33，高h=sin60*b=2.89，面积是1/2*bh=4.81。

首先证明在边数相等的情况下正多边形的面积最大——比如若两相邻的边不等，容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时，比原面积要大，所以面积最大的是正多边形。然后证明边数约大面积越大，方法是将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形，每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2，于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2，周长一定时，中心到边的距离越长，面积越大。可证，边长越多时中心到边的距离越大，因为中心到边的距离为cot2PI/2N * C/2N，分别代入N和N'后相除比较大小即可，当边长趋于无穷时，中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离，这时候面积是最大的。