反对称矩阵对角线必须为0吗

设A为n维方阵，若有A=-A，则称矩阵A为反对称矩阵。对于反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零，而位于主对角线两侧对称的元反号。

反对称矩阵，它的主对角线上的元素全为零。

如果一个方阵A∈ Rn×n满足条件A = AT，那么它就是对称的。如果满足A = AT则A是反对称的。很容易证明，任何矩阵A ∈ Rn×n，A + AT 是对称的，而 AAT是反对称的。因此，任何方阵A ∈ Rn×n可以表示为一个对称矩阵和反对称矩阵的和。

右边的第一个矩阵是对称的，第二个是反对称的。通常将所有大小为n的对称矩阵的集合表示为Sn；A ∈ Sn则表示A是n × n的对称矩阵。

实反对称矩阵的性质：

性质1：A的主对角线上的元素均为0；

性质2：A的特征值为0或者纯虚数；

性质3：A可以相似对角化；

性质4：两个反对称矩阵合同的充要条件为秩相同；

性质5：奇数阶反对称矩阵的行列式为0；