正交矩阵的特征值为什么是1或负1

设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量

即有 Ax = λx,且 x≠0.

两边取转置,得 x^TA^T = λx^T

所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx

因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E

所以 x^Tx = λ^2x^Tx

由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数

故 λ^2=1

所以 λ=1或-1.

如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件 :

1、AT的各行是单位向量且两两正交

2、AT的各列是单位向量且两两正交

3、(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

4、|A|=1或-1

5、正交矩阵通常用字母Q表示。

正交矩阵的相关定理

1、在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。

2、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；

3、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；

4、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；

5、A的列向量组也是正交单位向量组。

6、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。