奇函数的导数一定是偶函数吗证明

奇函数的导数不一定是偶函数，偶函数的导数是奇函数。奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

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证明过程如下：

证明：

设可导的偶函数f(x)，则f(-x)=f(x)。

两边求导：

f'(-x)(-x)'=f'(x)

即f'(-x)(-1)=f'(x)

f'(-x)=-f'(x)

于是f'(x)是奇函数

f'(-x)(-1)=f'(x)此处用复合函数求导法则 因为[f(-x)]'=f'(-x)(-x)',而[f(x)]'=f'(x) 于是f(-x)=f(x)两边求导得f'(-x)(-x)'=f'(x)。

奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）。

偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上是减函数（增函数）。但由单调性不能倒导其奇偶性。验证奇偶性的前提要求函数的定义域必须关于原点对称。