什么是几何级数增长

几何级数增长就是成倍数增长。类似与通常说的“翻番”——2、4、8、16、32、64、128等等，或者3、9、27、81等等。在几何上，面积与边长的关系是乘积的函数关系。因此也将成倍增长称为“几何级数增长”。

几何级数增长的案例分析

案例一：种群的几何级数增长

在具体讨论现实的种群在有限的环境中增长过程以前，首先介绍一个理想的种群在无限的环境中增长的模型。假定有一种一年只有一个繁殖季、寿命只有一年的动物，那么其世代是不重叠的。例如，栖居于草原季节性小水坑中的水生昆虫，每年雌虫产一次卵，卵孵化长成幼虫，蛹在泥中度过干旱季节。到第二年，蛹才变为成虫，交配、产卵。因此，世代是不重叠的，种群增长是不连续的。假定这些水坑是彼此隔离的，即种群没有迁入和迁出。

1．模型的假设和概念结构

在这个最简单的单种种群增长模型的概念结构里，包含有下列四个假设：①种群增长是无界的，即设种群在无限的环境中增长，没有受资源、空间等条件的限制；②世代不相重叠。增长是不连续的，或称离散的；③种群没有迁入和迁出；④没有年龄结构。

2．数学模型

最简单的单种种群增长的数学模型通常是把世代t+1的种群N_{t + 1}与世代t的种群N_t联系起来的差分方程：N_{t + 1} = λN_t或N_t = N₀λ'

式中：N为种群大小，t为时间，λ为种群的周限增长率。

3．模型的生物学含义

下面我们对这个模型的生物学含义作进一步解释。

假定一年生生物(即世代间隔为一年)的种群在一个繁殖季节t₀开始，有N₀个雌体和等量的雄体(这样就能简单地以雌体产生雌体来代表种群增长)，其产卵量为B，总死亡为D。那么到下一年t₁，其种群数量N₁为N₁ = N₀ + B − D例如，开始时有10个雌体，到第二年成为200个，那就是说，N₀ = 10，N₁ = 200，即一年增长20倍。现以λ代表种群两个世代的比率：λ = N₁ / N₀ = 20

如果种群在无限环境下以这个速率年复一年地增长，即

N₀ = 10

……

N_{t + 1} = N_tλ或N_t = N₀λ'

λ在此是表示种群以每年(或其他时间单位)为前1年20倍的速率而增长的增长率，称为周限增长率。这种增长形式称为几何级数式增长或指数式增长。

将方程式N_t = N₀λ'两侧取对数，即lgN_t = lgN₀ + (lgλ)t

它具有直线方程式y=a+bx的形式。因此，以lgN_t与t作图，就能得到一条直线，其中lgN₀是直线的截距，lgλ是直线的斜率。

4．模型的参数λ

周限增长率λ是种群增长模型中有用的量，如果λ = N_{t + 1} / N_t = 1，表示种群数量在t时和t+1时相等，种群稳定。从理论上讲，λ可以有下面四种情况，它在种群增长中的含义是：

λ>1，种群上升；

λ=1，种群稳定；

0<λ<1，种群下降；

λ=0，雌体没有繁殖，种群在一代中灭亡。

参考文献

林文雄主编.生态学.科学出版社,2007.8.