什么是离散型随机变量

设X是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X为一个离散型随机变量。

设X₁，X₂，…是随机变量X的所有可能取值，对每个取值X_i，X = x_i是其样本空间S上的一个事件，为描述随机变量X，还需知道这些事件发生的可能性(概率)。

定义1 设离散型随机变量X的所有可能取值为x_i(i=1，2，…)，

P(X = x_i) = P_i,i = 1,2,...

称为X的概率分布或分布律，也称概率函数。

常用表格形式来表示X的概率分布：

Xx₁x₂...x_n...P_ip₁p₂...p_n...

由概率的定义，P_i(i = 1,2,...)必然满足：

(1)，i=1, 2, …；

(2)

【例1】 某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布．

解 X可取0，1，2为值，记A_i={第i次投中篮圈}，i=1，2，则P(A₁) = P(A₂) = 0.9

，

，

且 PX = 0 + PX = 1 + Px = 2 = 1

于是，X的概率分布可表示为

X012P_i0.010.180.81

关于分布律的说明

若已知一个离散型随机变量X的概率分布：

Xx_1x_2...x_n...P_ip_1p_2...p_n...

则可以求得X所生成的任何事件的概率，特别地，

，

例如，设X的概率分布由例1给出，则

P{x<2}=P{x=0}+P{X=l}=0.0l+0.18=0.19

P{}=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1

常见的离散型随机变量的分布

(1)两点分布(0-1分布)

若随机变量X只可能取0和1两个值，且它的分布列为P{X=1}=p，PX = 0 = l − P(0 < P < 1)，则称X服从参数为p的两点分布，记作X~B(1, p)。其分布函数为

(2)二项分布

若随机变量X的分布律为(k=0, 1, 2, ..., n) 且0<P<1，则称X服从参数为n，P的二项分布，记作x~B(n，P)。

(3)泊松(Poisson)分布

若随机变量X所有可能取值为0，1，2，…，它取各个值的概率为

，(k=0,1,2，…)

式中：λ > 0是常数，则称X服从参数为 λ 的泊松分布，记为X ~ Π(λ)。

参考文献

徐建豪,陆健华.概率论与数理统计 第三版 简明版.中国人民大学出版社,2009.08.

张景雄.第3章 数理统计基础 空间信息的尺度、不确定性与融合.武汉大学出版社,2008.12.