什么是阿贝尔定理

阿贝尔定理是指幂级数的一个重要结果。

设为一幂级数，其收敛半径为R。若对收敛圆（模长为 R 的复数的集合）上的某个复数z₀，级数收敛，则有 。

若收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。

阿贝尔定理的证明

设级数收敛，下面证明：

令，则幂级数 的收敛半径为1，并且只需证明

令，则可化归到，于是以下只需要考虑 的情况。

设，那么。由幂级数性质可知 的收敛半径也是1。于是

（因为）

对于任意的ε > 0，固定N₀ 使得

，

再固定δ使得

，

于是对，

这就证明了

于是阿贝尔定理得证。

从证明中可以看出，对于一个固定的正数α，设区域：

那么只要t 在D_α趋近于1，就有阿贝尔定理成立。

阿贝尔定理的例子和应用

阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。方法是通过在级数每项后加上x项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算 x 趋于 1 时幂级数的极限。由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。

为计算收敛级数，设。于是有

为计算收敛级数，设。因此有