什么是闭图像定理

闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。

设X，Y为巴拿赫空间，为线性算子。定义T的图像为的子空间

。

赋予范数，使得成为巴拿赫空间。那么，这定理指T是连续的（与有界等价）当且仅当Γ(T)在内是闭集。

闭图像定理的证明

闭图像定理可以从开映像定理推导出来。

Γ(T)是闭集的充分必要条件是如果序列（即对任意n有y_n = T(x_n)），而，那么，y = T(x)。如果T是连续的，从连续性立刻可知Γ(T)是闭集，因为连续性是更强的条件：如果，则。

如果Γ(T)是闭集，可以在Γ(T)定义线性算子

，

。

显然，因此π₂是有界算子。

Γ(T)是巴拿赫空间中的闭子空间，所以Γ(T)是巴拿赫空间。X也是巴拿赫空间，π₁是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆为有界算子。

因为，故T也是有界的。

闭图像定理的相关推论

从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。