什么是巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理是指度量空间理论的一个重要工具。它保证了度量空间的一定自映射的不动点的存在性和唯一性，并提供了求出这些不动点的构造性方法。这个定理是以斯特凡•巴拿赫命名的，他在1922年提出了这个定理。

巴拿赫不动点定理的内容

设(X, d)为非空的完备度量空间。设T: X → X为X上的一个压缩映射，也就是说，存在一个非负的实数q<1，使得对于所有X内的x和y，都有：

那么映射T在X内有且只有一个不动点x * （这就是说，Tx * = x * ）。更进一步，这个不动点可以用以下的方法来求出：从X内的任意一个元素x₀开始，并定义一个迭代序列x_n = Tx_n − 1，对于n = 1，2，3，……。这个序列收敛，且极限为x * 。以下的不等式描述了收敛的速率：

等价地：

且

满足以上不等式的最小的q有时称为利普希茨常数。

注意对于所有不同的x和y都有d(Tx, Ty) < d(x, y)的要求，一般来说是不足以保证不动点的存在的，例如映像T: [1,∞) → [1,∞)，T(x) = x + 1/x，就没有不动点。但是，如果空间X是紧空间，则这个较弱的假设也能保证不动点的存在。

当实际应用这个定理时，最艰难的部分通常是恰当地定义X，使得T实际上把元素从X映像到X，也就是说，Tx总是X的一个元素。

巴拿赫不动点定理的证明

选择任何。对于每一个，定义。我们声称对于所有的，以下等式都成立：

。

我们用数学归纳法来证明。对于n = 1的情况，命题是成立的，这是因为：

。

假设命题对于某个是成立的。那么，我们有：

从第三行到第四行，我们用到了归纳假设。根据数学归纳法原理，对于所有的，以上的命题都成立。

设。由于，我们便可以找出一个较大的，使得：

。

利用以上的命题，我们便有对于任何m，以及，都有：

第一行的不等式可以从三角不等式推出；第四行的级数是一个几何级数，其中，因此它收敛。以上表明是内的一个柯西序列，所以根据完备性，它是收敛的。因此设。我们作出两个声明：第一，是的一个不动点，也就是说，；第二，是在中的唯一的不动点。

为了证明第一个命题，我们注意到对于任何的，都有：

。

由于当时，，因此根据夹挤定理，可知。这表明当时，。但当时，，且极限是唯一的；因此，一定是的情况。

为了证明第二个命题，我们假设也满足。那么：

。

由于，因此上式意味着，这表明，于是根据正定性，，定理得证。

巴拿赫不动点定理的逆定理

巴拿赫不动点定理有许多逆定理，以下的一个是Czesław Bessaga在1959年发现的：

设为一个抽象集合的映像，使得每一个迭代函数f^n都有一个唯一的不动点。设q为一个实数，0 < q < 1。那么存在X上的一个完备度量，使得f是压缩映射，且q是压缩常数。