什么是棣莫弗公式

棣莫弗公式是指法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667年－1754年）于1707年创立的公式。

当一个复数z以极坐标形式表达，即z = r(cosθ + isinθ)时，其n次方(r(cosθ + isinθ)) = r(cos(nθ) + isin(nθ))，其中n属于任何整数。

棣莫弗公式的证明

欧拉公式

最简单的方法是应用欧拉公式。

数学归纳法

正整数情形

证明的思路是用数学归纳法证明正整数的情形。

设命题为

当n=1

左式 右式

因此 P(1)成立。

假设P(k)成立，即(cosθ + isinθ) = cos(kθ) + isin(kθ)

当n = k + 1

因此，P(k + 1)也成立。

根据数学归纳法，，P(n)成立。

负整数情形

只需运用恒等式：

即可证明。

用棣莫弗公式求根

此定理可用来求单位复数的 n 次方根。设 | z | = 1，表为

z = cosθ + isinθ

若 w = z，则 w 也可以表成：

w = cosφ + isinφ

按照棣莫弗公式：

w = (cosφ + isinφ) = cosnφ + isinnφ = cosθ + isinθ = z

于是得到

nφ = θ + 2kπ（其中 ）

也就是：

当 k 取 ，我们得到 n 个不同的根。