什么是格林定理

在物理学与数学中， 格林定理是指链接了一个封闭曲线上的线积分与一个边界为C且平面区域为 D 的双重积分。

格林定理是斯托克斯定理的二维特例，以英国数学家乔治•格林（George Green）命名。

设闭区域D由分段光滑的简单曲线L围成，函数P（x, y）及Q (x, y}在 D上具有一阶连续偏导数，则有

其中L是D的取正向的边界曲线。格林公式还可以用来计算平面图形的面积。

此公式叫做格林公式，它给出了沿着闭曲线C的曲线积分与C所包围的区域D上的二重积分之间的关系。

格林定理在特殊情况的证明

以下是特殊情况下定理的一个证明，其中D是一种I型的区域，C₂和C₄是竖直的直线。对于II型的区域D，其中C₁和C₃是水平的直线。

如果我们可以证明

以及

那么就证明了格林公式是正确的。

把右图中I型的区域D定义为：其中g₁和g₂是区间内的连续函数。计算(1)式中的二重积分：

现在计算(1)式中的曲线积分。C可以写成四条曲线C₁、C₂、C₃和C₄的并集。

对于C₁，使用参数方程：x = x，y = g₁(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

对于C₃，使用参数方程：x = x，y = g₂(x)，a ≤ x ≤ b。那么：

沿着C₃的积分是负数，因为它是沿着反方向从b到a。在C₂和C₄上，x是常数，因此：

所以：

(3)和(4)相加，便得到(1)。类似地，也可以得到(2)。