什么是高斯－马尔可夫定理

在统计学中，高斯－马尔可夫定理是指在误差零均值，同方差，且相关的线性回归模型中，回归系数的最佳线性无偏估计就是最小方差估计。一般而言，任何回归系数的线性组合之BLUE（Best Linear Unbiased Estimators）就是它的最小方差估计。在这个线性回归模型中，其误差不需要假定为正态分布或独立同分布（而仅需要满足相关和方差这两个稍弱的条件）。

指在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量的这一定理。

高斯--马尔可夫定理的意义在于，当经典假定成立时，我们不需要再去寻找其它无偏估计量，没有一个会优于普通最小二乘估计量。也就是说，如果存在一个好的线性无偏估计量，这个估计量的方差最多与普通最小二乘估计量的方差一样小，不会小于普通最小二乘估计量的方差。

高斯－马尔可夫定理的内容

具体而言，假设

。（i = 1……n）

其中β₀和β₁是非随机且未观测到的参数，x_i 是观测到的变量，ε_i是随机误差，Y_i是随机变量（x小写:因x非为随机变量，Y大写:因Y为随机变量）。

高斯－马尔可夫定理的条件是：

，，也就是“不相关性”。

β_i的线性无偏估计指的是E{x'e}=0使得E{b}=β

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