高数中为什么一个函数可导就一定连续呢

问题描述

精选答案

根据可导的定义公式就能得到f（x）在x=x0点处的导数定义公式：f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）如果f（x）在x0点可导，则f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）这个极限存在，等于一个有限常数，设为k首先，这个定义公式中，有f（x0）存在，所以x0必须在f（x）的定义域内，如果x0不在定义域内，必然不可导。

因为lim（x→x0）（x-x0）=0所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）{[f（x）-f（x0）]/（x-x0）}*（x-x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）*lim（x→x0）（x-x0）=k*0=0而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）因为f（x0）是常数（任何函数在某个确定点上的函数值都是常数）所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0即lim（x→x0）f（x）=f（x0）即f（x）在x0点的极限值等于函数值，根据函数连续的定义，f（x）在x0点处连续。所以可导必然连续。

其他回答

玫瑰工程

给一个方便理解和记忆的解释吧。所谓连续，指的是当自变量x的变化量Δx趋于0的时候，因变量y的变化量Δy也趋于0。而可导是说当自变量x的变化量Δx趋于0的时候，Δy/Δx有极限。显然，如果此时Δy不趋于0，这个极限是不可能存在的。从几何图形的角度也很容易理解。在某点可导的曲线在这一点是光滑的，要光滑当然首先得是连续不断的。