[龚成通]考研大纲与教学大纲之间的重大区别

我昨天在本博客上讲过：第一阶段系统复习以考纲（目前找2007的，7月份2008新考纲就出来了）与自己以前用过的教材为主，有不少同学仍然放心不下，特别有很多同学是用“同济五版”的，而现在很多考研辅导老师对该书评价较低。纷纷问这个问题。

高数老头的回答是：
其实用过的教材，是自己最熟悉的教材，复习起来最顺手，根本没有必要重新挑一本教材来复习。
以我之见，现在国内比“同济五版”更合适做考研复习用的高等数学教材还很少见。
这里你必须注意八个字：“依据教材，对照考纲”进行复习，为了让大家的考研复习更有效，特将“高等数学的教学大纲"和"考研大纲（2007）”的主要区别列出，供复习参考用。

考研大纲与教学大纲之间的重大区别

考研数学的命题是以教育部制定的“2008年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲”（以下简称“考研大纲”今年7月份出版）为依据的，事实上当年的大纲修订者就是当年试题的命题者。
数学考研复习工作，一定要严格按照教育部当年制定的考试大纲进行复习，由于考研大纲是纲要式的文件，其篇幅有一定的限制，所以考纲的制定者“教育部考试中心”在编制考纲同时，编写出具有同等权威的《2008年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲解析》（以下简称“考纲解析”今年7月份出版），并同时修改编拟出有同样权威性的新的考试样卷（07年起改称为参考试卷）。

我们知道考研大纲与教学大纲之间有很大的区别。所以考研复习千万不能以教学大纲（即以前读书时学过的内容）为依据。一定要以考研大纲为依据。

凡是"教学大纲内有，考研大纲内没有"的内容，绝对用不着花时间去复习的，不管出现在什么样的教材（例如同济五版上的柯西收敛原理、含参变量的积分，其他不少教材上的微分几何、最优化方法初步、个别教材上的微分方程的数值解等）或考研辅导书（例如陈文灯所编写的辅导书上的解常系数线性非齐次方程的算子法）上，都一点时间也不要去花，更不要去钻研它。

凡是“考研大纲内有，教学大纲内没有”的内容，绝对要认真花时间去复习的，即使在某些名校所编的所谓“通用”教材中没有该内容（例如同济五版的定积分应用中缺少旋转曲面面积的计算），也不管该内容是否为考试重点，都要认真复习一遍。

虽然考试大纲中的有些内容还从来都没有考到过，但不是说今年也一定不会考到。当然对于重点内容和非重点内容要一定要认真分清的，一些重点内容一定更要花大力气去掌握。

就线代和概率统计来说，考研大纲的内容没有超出教学大纲的内容。但是高数方面差别确实不小。

现将考研大纲的高等数学部分超出教学大纲（1987教学大纲称为旧大纲，2004教学大纲称为新大纲）的内容不少，大致罗列如下：

（1）平面曲线的斜渐近线；
（2）旋转曲面面积；
（3）侧压力（旧的教学大纲没有，新的教学大纲更为模糊）；
（4）平均值；
（5）向量的混合积；
（6）点到直线的距离；
（7）隐函数的存在定理；
（8）二元函数的二阶泰勒公式；
（9）二元函数极值的充分条件；
（10）多元函数积分的应用中的转动惯量、引力（旧的教学大纲没有，新的教学大纲更为模糊）；
（11）广义重积分（“伽玛函数”和“贝塔函数”）；
（12）伯努利方程（旧的教学大纲还有，但新的教学大纲已经没有了）；
（13）欧拉方程；
（14）正项级数的根值判别法。

下面作几点说明：

一．关于（有极限的）函数的局部保号性问题等要求，教学大纲和考研大纲都不可能写到如此细，然而在权威的《考纲解析》就会写得非常明确仔细。

二．关于“液体侧压力”、“物体的转动惯量”、“向量的混合积”的问题：无论新旧教学大纲都没有该内容的要求，但由于有一定权威性的课委会试题库有这个内容的题，所以不少学校的教学实施大纲及教材上都将它列为基本要求，而不标超教纲记号，所以对复习还不会有多大影响。而“引力”问题由于题库内没有这样的问题，教学实施大纲更不可能考虑这一内容了,这是需要大家注意的。

三．关于“二元函数极值的充分条件”的问题：在高等数学教学大纲内无此明确要求，它应该认为是隐含在“会求二元函数的极值”要求内。考研大纲明确是“了解”二元函数极值存在的充分条件。
考生们对两个意义相近的汉字“会”与“了解”的具体区别可能不太清楚，根据我个人多年对教学大纲与考研大纲研究的理解，为大家作如下解释：“会”是基本运算上的要求，具体就是指要记住公式并会正确使用；“了解”是基本概念上的要求，具体就是指要记住公式并懂得其原理。运算上会使用较为容易，概念上懂原理恐怕有点难，这里必须掌握两点：
（1）二次型的正定性；
（2）函数在连续点的局部保号性。

四．关于“多重广义积分问题”，教学大纲上是没有要求的。在考研大纲内，数学一对此没有明确要求，但数学三、四对此是有要求的，虽然也不太具体明确，然而在权威的《考纲解析》中就写得非常明确。
这一点要请考三、四的同学特别注意，《考纲解析》中还包含了“伽玛函数”和“贝塔函数”（考数学一的同学，实际上也要注意，因为它主要用在概率论的计算中）。

五．关于“二次曲面的分类”问题，绝对是个大问题，在高等数学教学大纲内不可能提及这个属于线性代数的问题，而线性代数课程中也不包含此内容，而这类渗透高数与线代两门知识的问题恰是考研的一个重点问题，历年考研多次考到，在2007年（估计2008不会有大变化）的权威的《考纲解析》对此也写得非常明确（见P.293例6.11和P.295例6.14）。

根据专家意见新的教学大纲已将向量代数及空间解析几何内容列入线性代数课程，在这个基础上，线性代数课程内就明确提出了“二次曲面的分类”要求，由于协调上的问题大多数学校还未按新大纲执行，所以“二次曲面的分类”问题，尤其要引起广大考生特别是数学二的考生注意。

那么是不是有“教学大纲内有，考研大纲内没有”的要求呢？有，而且还不少！

这就是考研大纲中近年删去全部数值计算部分内容[有：包括二分法求根、利用一元微分（或多元全微分）计算函数的近似值（线性近似）、牛顿切线法、积分的近似计算、利用级数计算函数的近似值及微分方程的幂级数解、微分方程的数值解在内的所有近似计算]。而关于这些内容，高数教学大纲在历经修改中，对此反而逐渐有所加强。