曲率半径如何计算

曲率半径

数学术语

在微分几何中，曲率的倒数就是曲率半径，即R=1/K。平面曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。对于曲线，它等于最接近该点处曲线的圆弧的半径。对于表面，曲率半径是最适合正常截面或其组合的圆的半径。

基本信息

中文名

曲率半径

外文名

radius of curvature

定义

曲率的倒数

简介

曲率半径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度，特殊的如：圆上各个地方的弯曲程度都是一样的故曲率半径就是该圆的半径；直线不弯曲，和直线在该点相切的圆的半径可以任意大，所以曲率是0，故直线没有曲率半径，或记曲率半径为∞。

圆形半径越大，弯曲程度就越小，也就越近似于一条直线。所以说，曲率半径越大曲率越小，反之亦然。

如果对于某条曲线上的某个点可以找到一个与其曲率相等的圆形，那么曲线上这个点的曲率半径就是该圆形的半径（注意，是这个点的曲率半径，其他点有其他的曲率半径)。也可以这样理解：就是把那一段曲线尽可能地微分，直到最后近似为一个圆弧，此圆弧所对应的半径即为曲线上该点的曲率半径。

公式推导

在空间曲线的情况下，曲率半径是曲率向量的长度。在平面曲线的情况下，则R要取绝对值。

其中s是曲线上固定点的弧长，φ是切向角，κ是曲率。

如果曲线以笛卡尔坐标表示为，则曲率半径为（假设曲线可微分）

如果曲线由函数 和 参数给出，则曲率半径为

实际上，这个结果可以解释为

这里。

如果 是 中的参数曲线，则曲线各点处的曲率半径 由下式给出：

作为特殊情况，如果f（t）是从R到R的函数，则其图的曲率半径γ（t）=（t，f（t））是

举例

半圆圈

对于上半平面半径a的半圆：

对于上半平面半径a的半圆：

半径a的圆的曲率半径等于a。

椭圆

在具有长轴2a和短轴2b的椭圆中，长轴上的顶点具有任何点的最小曲率半径， ；

并且短轴上的顶点具有任何点的最大曲率半径。

应用

（1）对于差分几何上的应用，请参阅Cesàro方程；

（2）对于地球的曲率半径（由椭圆椭圆近似），请参见地球的曲率半径；

（3）曲率半径也用于梁的弯曲三部分方程中；

（4）曲率半径（光学）。

（5）半导体结构中的应力：

涉及蒸发薄膜的半导体结构中的应力通常来自制造过程中的热膨胀（热应力）。发生热应力是因为膜沉积通常在室温以上。在从沉积温度冷却至室温时，基板和膜的热膨胀系数的差异引起热应力。

当原子沉积在基底上时，由薄膜中形成的微观结构引起固有应力。由于原子穿过空隙有吸引力的相互作用，薄膜中的微孔产生拉伸应力。

薄膜半导体结构中的应力导致晶片的翘曲。应力结构的曲率半径与结构中的应力张量有关，可以用修正的Stoney公式来描述。可以使用光学扫描仪测量包括曲率半径的应力结构的形貌。现代扫描仪工具具有测量基板全貌和测量两个主曲率半径的能力，同时为90米及以上的曲率半径提供0.1%的精度。