导函数中有含未知数怎么求单调性

●1. 求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数

在区间

内可导，

(1)如果恒

则函数

在区间

上为增函数；

(2)如果恒

则函数

在区间

上为减函数；

(3)如果恒

则函数

在区间

上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：

①求函数

的定义域；②求导数

③解不等式

解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式

解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：

设函数

在区间

内可导，

(1)如果函数

在区间

上为增函数,则

(其中使

的

值不构成区间)；

(2) 如果函数

在区间

上为减函数,则

(其中使

的

值不构成区间)；

(3) 如果函数

在区间

上为常数函数,则

恒成立。

●2. 求函数的极值：

设函数

在

及其附近有定义，如果对

附近的所有的点都有

(或

)，则称

是函数

的极小值(或极大值)。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

(1)确定函数

的定义域；(2)求导数

(3)求方程

的全部实根，

顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，

和

值的变化情况：

x

…

正负

0

正负

0

正负

单调性

单调性

单调性

(4)检查

的符号并由表格判断极值。

●3. 求函数的最大值与最小值：

如果函数

在定义域I内存在

使得对任意的

总有

则称

为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数

在区间

上的最大值和最小值的步骤：

(1)求

在区间

上的极值；

(2)将第一步中求得的极值与

比较，得到

在区间

上的最大值与最小值。

●4. 解决不等式的有关问题：

(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。

的值域是

时，

不等式

恒成立的充要条件是

即

不等式

恒成立的充要条件是

即

的值域是

时，

不等式

恒成立的充要条件是

不等式

恒成立的充要条件是

(2)证明不等式

可转化为证明

或利用函数

的单调性，转化为证明