垂径定理怎么证

垂径定理是圆的基本性质之一。下面是垂径定理的证明步骤：

设圆的圆心为O，直径为AB，过点C作AB的垂线，交圆于点D。需证明CD是OD的垂线。

证明过程：

1. 连接OC，OD，OA三条线段。

2. ∠OAD = 90°，因为直径AB的两个端点A，B都在圆上，所以OA和OB是圆的半径，且OD是弦的垂线，所以∠OAD = 90°。

3. ∠OCD = 90°，因为CD是直径AB上的垂线，所以∠OCD = 90°。

4. ∠COD = 90°，结合步骤2和步骤3可以得出∠COD = 90°，因为OC和OD都是以O为圆心的半径。

5. 因为∠OCD = 90°，所以OC⊥CD。

6. 设OE⊥CD，交OC于点F，则OF是直径AB上的垂线，因为直径的两个垂线是平行的，所以OF平行于CD。

7. 因为OF平行于CD，OE ⊥ CD，所以∠OEF = ∠OCD = 90°，所以OE是以O为圆心的半径。

8. 因为OE是以O为圆心的半径，所以OD = OE。

9. 结合步骤5和步骤8可以得出CD⊥OD，所以CD是OD的垂线。

因此，垂径定理得证，即：在圆上，过任意一点作圆的直径，垂直于直径的线段称为该点在圆上的垂径，任意一条直径上的垂径都互相垂直。