一元函数连续为什么不一定可微

问题描述

精选答案

举个反例就能说明问题，f(x)=|x|,在x=0处连续，但不可微。

一元函数与多元函数连续，可导，可微之间的关系：

1、一元函数涉及的是两维曲线，多元函数涉及到的是至少是三维的曲面。一元函数的可导可微只要从左右两侧考虑；多元函数的可导可微，必须从各个角度，各个方向，各个侧面，进行前后、左右、上下、侧斜等等方向的左右两侧考虑。

2、一元函数，只要曲线光滑--没有尖点、没有断点，切线垂直于x轴就行，也就是不能斜率为无穷大；多元函数的要求就是一方面曲面光滑--没有裂缝、没有皱褶。同样没有垂直于各个坐标的垂直切线。

3、一元函数的求导，就是简单的沿着x轴考虑曲线变化率，考虑曲线的连续性、可导性、凹凸性等等；多元函数要考虑在某一个方向的特殊导数--方向导数。方向导数取得最大值的方向，就是梯度的方向，而它的反方向一定存在一个力，整体存在一个力场。例如温度增加得最快的方向，其反方向就是热流的方向；如电势增加得最快的方向，反方向就是电场力的方向。这样的例子举不胜举。

4、一元函数的可导可微没有什么惊人区别，工程上的误差计算：Δy=(dy/dx)Δx,dy/dx利用的是可导，Δx,Δy运用的就是可微。无论是牛顿的近似计算，还是用麦克劳琳级数计算，还是用泰勒技术计算，也都是运用的可导性与可微性。在多元函数中，就不一样了，u=f(x,y,z),随便写出du/dx,du/dy,dy/dz都是错误的。我们可以有三种写法：du=(∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy+(∂u/∂z)dzdu/dt=(∂u/∂x)dx/dt+(∂u/∂y)dy/dt+(∂u/∂z)dz/dtgradu=(∂u/∂x)i+(∂u/∂y)j+(∂u/∂z)k(i，j,k是单位矢量)5、一元函数可微就是可导，可导就可微；多元函数可导就含糊了，沿100万个方向可偏导，只要一个方向不可偏导，就不可微，只要可微，就表示沿各个方向可偏导；多元函数，在任何方向的导数都是偏导。没有全导的概念，只有偏导、偏微、全微的概念。如果讲全导，则是意指上面的du/dt的情况。

6、在一元函数，我们可以计算极值点。在多元函数中，当然仍然有极值点的计算。但是可能多出了一个极值面，或极值曲线的概念。例如，在引力场中，物体下滑时，沿什么样的曲线最快？这就要涉及多元函数的张量问题。

7、一元函数，通常是常微分的解；多元函数是偏微分的解。总而言之，言而总之，多元函数考虑的情况是三维以上的情况，考虑的因素多了许多，基本上仍然是一元微积分的应用。本质上没有区别，只是在复杂程度上，麻烦了许多

其他回答

建筑师小鱼

1、函数可微的必要条件

若函数在某点可微分，则函数在该点必连续；

若二元函数在某点可微分，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

2、函数可微的充分条件

若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。