矩阵有二重特征值，为什么特征方程秩为1

问题描述

精选答案

设n阶矩阵A的一个k重特征值是，那么对应的特征向量x就要求为0列向量，我们可以通过的矩阵的秩来求可能的无关的x的数量。

首先，可以通过相似变换把A变成Jordan标准形，即。注意可能对应多个的Jordan块。那么经过同样的相似变换，得到的是它的Jordan标准形（经过相似变换，矩阵的秩不变）。从这个新的Jordan标准形，容易观察得到，秩是大于等于n-k的（因为Jordan矩阵的秩数是各个Jordan块的秩数的加和，其他的Jordan块没有减少秩数）。特殊地，如果对应k个Jordan块，的Jordan标准形的秩正好减少k，这是无关的x有k个，即对应的无关的特征向量是k个。综上，对应的无关的特征向量最多有k个。

其他回答

一位电子工程师

定理一个n阶矩阵相似于对角阵的充分必要条件是：对于任一k重特征值λ都成立r(λE-A)=n-k。 本题n=3，对于2重特征根λ=-1，成立r(-E-A)=3-2=1。