为什么相似矩阵的特征多项式相同

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精选答案

因为矩阵A的特征多项式就是f(x)=|xI-A|.其中||是行列式，而I是与A同阶的单位阵。

现在设矩阵B与A相似，即存在同阶可逆矩阵T，使得B=T^(-1)AT.这里T^(-1)是矩阵T的逆。根据特征多项式的定义，B的特征多项式为g(x)=|xI-B|=|xI-T^(-1)AT|=|xT^(-1)T-T^(-1)AT|=|T^(-1)||xI-A||T|(由|T^(-1)||T|=1)=|xI-A|=f(x)即相似矩阵的特征多项式相同。