为什么不能相似对角化的矩阵也可以相似

问题描述

精选答案

不能。

因为只有对称矩阵才有这样一个性质：对于不同特征值对应的特征向量，它们互相正交因此，对于重特征值，则可以通过正交化来获得对应的相互正交的特征向量。再与其他特征值的特征向量一起，构成了n个相互正交的特征向量。而对于非对称矩阵，虽然对于重特征值时，你可以用同样的正交化方法获得相互正交的同特征值对应特征向量，但是不同特征值对应的特征向量不是正交的，而不同的特征值对应的特征向量用正交化方法是没有意义的（你能算出来，但结果不再是特征向量了，因为不同特征值的特征向量相互线性运算后不再是特征向量），所以没有办法获得n个相互正交的特征向量的。也许你会问如果是n个相同特征值的非对称矩阵是不是就能够用正交化方法获得n个相互正交的特征向量了，但是对于这种情况，你的矩阵必须是对称的，否则不满足相似对角化条件，即找不到n个线性无关特征向量。两个矩阵能对角化不是相似的必要条件相似的必要条件是r（a）=r(b)λa=λb|A|=|B|trA=trB