1到N的平方和，立方和公式是怎么推导的

问题描述

精选答案

平方和Sn= n(n+1)(2n+1)/6，推导：(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,.......2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,代人上式整理后得：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。立方和Sn =[n(n+1)/2]^2，推导： (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1，n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1，......2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,把这n个等式两端分别相加,得：(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，代人上式整理后得：1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

其他回答

沐汐说网络推广

1到n平方和公式推导过程。由（n+1）^3一n^3=3n^2+3n+1。令n=1，2…n两边相加得（n+1）^3一1=3（1+2^2+…+n^2）+3n（n+1）/2+n。

得1+2^2+…+n^2=n（n+1）（2n+1）/6。自然对数立方和公式可类似于此。即（n+1）^4一n^4=4n^3+6n^2十4n+1。展开