一个矩阵可对角化有什么性质

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矩阵对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过度矩阵为X，那么可以证明：B=X'AX （X'是X的转置，注意X是满秩的）那么定义：A，B是2个矩阵。

如果存在可逆矩阵X，满足B=X'AX ，那么说A与B是相似的（是一种等价关系）。如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B，那么说A可对角化。相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么另X为过度矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。如果一个方阵主对角线以外的元素都为零,即|a11||a22|| a33 | a=| . || . ||.|| ann |则称a为对角矩阵.我用自己的语言说，希望能方便你明白如果存在可逆矩阵X，满足B=X'AX ，那么说A与B是相似的（是一种等价关系）。如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B，那么说A可对角化。相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么另X为过度矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。

其他回答

期货羊

可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。如果一个方块矩阵 A 相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵 P 使得 P AP 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。如果 V 是有限维度的向量空间，则线性映射 T : V → V 被称为可对角化的，如果存在 V 的一个基，T 关于它可被表示为对角矩阵。对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。

可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值，因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值和特征向量是已知的，并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。

若尔当-谢瓦莱分解表达一个算子为它的对角部分与它的幂零部分的和