罗尔中值定理怎么证明

问题更新日期：2024-04-25 18:08:54

问题描述

精选答案

罗尔中值定理是一个非常基础的微积分定理，用于证明一些函数的性质。

其大致表述为：如果 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 上可导，且 $f(a) = f(b)$，那么在 $(a,b)$ 中必存在一个点 $c$，使得 $f'(c) = 0$。下面通过证明来了解这个定理的具体过程：假设函数 $f(x)$ 满足罗尔中值定理的条件，那么我们可以定义一个新的函数 $g(x) = f(x)-f(a)$，则 $g(a)=f(a)-f(a)=0$，$g(b)=f(b)-f(a)=0$，且 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 上可导。由于 $g(a)=g(b)$，根据拉格朗日中值定理可知，在 $(a,b)$ 中必存在一个点 $c$，使得 $g'(c)=0$。又因为 $g'(x)=f'(x)$，所以 $f'(c)=0$，即罗尔中值定理成立。证毕。

其他回答

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定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]连续,开区间（a,b）可导,f(a)=f(b),则在（a,b）内至少存在一点c,使f'(c)=0.

证明：函数f(x)在闭区间[a,b]连续,则f(x)在闭区间[a,b]一定有最大值M与最小值m.当M=m,则f(x)在闭区间[a,b]是常数函数,常数函数的导数为零,（a,b）中任意一点c,使f'(c)=0.如果m

其他回答

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罗尔定理的证明过程

证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最大值与最小值，分别用 M 和 m 表示，分两种情况讨论：

1. 若 M=m，则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数，结论显然成立。

2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在 ξ 处取得极值，由费马引理，可导的极值点一定是驻点，推知：f'(ξ)=0。

另证：若 M>m ，不妨设f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可导条件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由极限存在定理知左右极限均为 0，得证。

其他回答

经济奇谈

因为f(1)=f(2)=0,所以由罗尔定理，存在c1∈(1,2)，使f'(c1)=0，故f'(x)在(1,2)中有一根。其他同理。