如何判断矩阵是否等价

问题更新日期：2024-04-26 15:18:00

问题描述

精选答案

1、矩阵等价矩阵A与B等价必须具备的两个条件：(1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵)；(2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q， 使B= PAQ。

2、矩阵A与B合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵；(2) 存在n阶矩阵P:P^TAP= B。

3、矩阵A与B相似必须同时具备两个条件：(1)矩阵A与B不仅为同型矩阵，而且是方阵；(2)存在n阶可逆矩阵P，使得P^-1AP= B。扩展资料矩阵的相似，实际上两个相似矩阵描述的是同一个线性变换，只是在不同基底下的坐标表示。相似矩阵的特征值相同，秩也相同，方阵对应的行列式也相同。判断两个矩阵是否相似，一般的题型是看两个矩阵能否相似于同一对角阵。同时两个矩阵相似，其对应的以矩阵为变量的两个函数也相似。矩阵的合同是在二次型的背景下提出来的，理解合同就针对二次型里的对称阵，给一个二次型，我们可以写成矩阵表达形式，做一系列的可逆变换，新得到的表示二次型的矩阵，就是与原矩阵合同的新矩阵。对于对称阵，两矩阵合同的重要条件是正负惯性指数相同，也就是正特征值的个数，负特征值的个数相同。矩阵相似与否和合同与否没有直接关系，但在我们的考试当中，一般考察对称阵，在对称阵的前提下，矩阵相似一定合同，合同不一定相似。相似要求特征值一样，合同只要求特征值的正负性一样。

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公务员考试库

矩阵等价：PAQ=B；同型矩阵而言；一般与初等变换有关；秩是矩阵等价的不变量，两同型矩阵相似的本质是秩相似；矩阵相似：P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；

本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似；矩阵合同：CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；

可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。

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进思学习

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即PT=P(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

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审计圈

矩阵等价 矩阵A与B等价必须具备的两个条件: (1)矩阵A与B必为同型矩阵(不要求是方阵); (2)存在s阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q, 使B= PAQ。

2.

矩阵A与B合同 必须同时具备的两个条件: (1) 矩阵A与B不仅为同型矩阵而且是方阵; (2) 存在n阶矩阵P: P^TAP= B。

3.

矩阵A与B相似 必须同时具备两个条件: (1)矩阵A与B不仅为同型矩