为什么矩阵的秩等于其行阶梯行矩阵非零行的行数

问题描述

精选答案

因为此时任意非零行向量都无法用其他行向量线性表示，即他们线性无关其余向量可由它们线性表示，所以它们是A的列向量组的一个极大无关组。

所以A的列秩 = 非零行的行数所以A的秩 = 非零行的行数比如 A = (a1,a2,a3,a4) 经过初等行变换化成 1 2 3 4 0 0 1 5 0 0 0 0 那么 a1,a3 是线性无关的 [ 即行阶梯矩阵非零行的首非零元所在的列是线性无关的] 这个线性无关组含向量的个数是梯矩阵的非零行数 再把梯矩阵化成行简化梯矩阵 1 2 0 -11 0 0 1 5 0 0 0 0 就可能看出 a2 = 2a1, a4 = -11a1 + 5a3 即 a2,a4 可由a1,a3 线性表示 所以 a1,a3 是 a1,a2,a3,a4 的极大无关组 即 A 的列秩 = 2 (非零行数) 所以 A 的秩 = 2 (非零行数)矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。