对角互补的四边形四点共圆怎么证明

问题描述

精选答案

用反证法。过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，若C在圆外，设BC交圆O于C’连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C，这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。

反证法的逻辑原理：

逆否命题和原命题的真假性相同。

若原命题：为真

先对原命题的结论进行否定，即写出原命题的否定：p且¬q。

从结论的反面出发，推出矛盾，即命题：¬q且p为假（即存在矛盾）。

从而该命题的逆否为真。

再利用原命题和逆否命题的真假性一致，即原命题：p⇒q为真。

证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法1从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆。

方法2把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，若能证明其两顶角为直角，从而即可肯定这四个点共圆。

方法3把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。

方法4把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。

方法5把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆。

方法6证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆。