线面垂直可以推出面面垂直吗

问题描述

精选答案

有以下情况：“必须有两条相交直线都平行平面，所以线面平行不能直接推出面面平行；只要在平面内找一条直线与另一平面垂直即可，所以线面垂直可以直接推出面面垂直。”

相关介绍：

直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。是将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的'立体几何数学思想方法。在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”。

判定定理

如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

注意关键词“相交”，如果是平行直线，则无法判定线面垂直。需要相交的原因见下文。

反证法

设有一直线l与面S上两条相交直线AB、CD都垂直，则l⊥面S。

假设l不垂直于面S，则要么l∥S，要么斜交于S且夹角不等于90。

当l∥S时，则l不可能与AB和CD都垂直。这是因为当l⊥AB时，过l任意作一个平面R与S交于m，则由线面平行的性质可知m∥l。