矩阵AB=BA的充要条件有哪些

问题描述

精选答案

AB是对称矩阵，则AB=BA的充要条件是A，B都为对称矩阵。

事实上，若A，B都为对称矩阵。则：

(AB)T=BTAT=BA

因为AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB

所以AB=BA

反之，若AB=BA

则(AB)T=(BA)T

AB=ATBT

故A=AT，B=BT

两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

基本性质：

1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

3、对角矩阵都是对称矩阵。

4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

5、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

6、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。

7、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

8、如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。

9、n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵

其他回答

教师枕边书

1、相似的定义为：对n阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使得P^(-1)AP=B,则称A、B相似.

2、从定义出发,最简单的充要条件即是：对于给定的A、B,能够找到这样的一个P,使得：P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C,使得A和B均相似于C.

3、进一步地,如果A、B均可相似对角化,则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值.

4、再进一步,如果A、B均为实对称矩阵,则它们必可相似对角化,可以直接计算特征值加以判断（与2情况不同的是：2情况必须首先判断A、B可否相似对角化）.

5、以上为线性代数涉及到的知识,而如果你也学过矩阵论,那么A、B相似的等价条件还有：设：A、B均为n阶方阵,则以下命题等价：(1)A~B;(2)λE-A≌λE-B(3)λE-A与λE-B有相同的各阶行列式因子(4)λE-A与λE-B有相同的各阶不变因子(5)λE-A与λE-B有相同的初等因子组