如何证明平面与平面垂直的判定定理

问题描述

精选答案

平面与平面垂直的判定定理是指，如果两个平面分别与同一条直线垂直相交，那么这两个平面互相垂直。

证明如下：设两个平面为P1和P2，它们交于直线L，在L上取两个互不重合的点A和B。因为P1与L垂直，所以，P1中过L的直线与L所成的角为90度。同样，因为P2与L垂直，所以，P2中过L的直线与L所成的角也为90度。因此，我们可以得到在L上的两个角OAB和OBA都是直角（其中O为P1和P2交点）。连接OA和OB两条线段，将P1和P2分别平移到使得O落在它们的交线上。此时我们发现三角形OAB的三个角都是直角，即OAB为一直角三角形。于是，根据勾股定理，可以得到：AB² = OA² + OB²其中，AB为L在线段AB上的投影即为它们在L上的距离，OA和OB为P1和P2中离O点最近的点到O点的距离。因为修改任何一个平面的位置都不会改变L在线段AB上的投影，所以AB的长度为常数。因此，我们可以认为OA和OB的长度至少有一个不0，否则AB的长度就为0了，与实际不符合。将这个结论代入到AB² = OA² + OB²中，可以发现，只有当OA和OB的长度都为0时，才会有AB²=0。但根据几何学基本公理，一个点只能属于一个平面。因此，如果OA和OB的长度都为0，那么需要P1和P2的交点O重合于L上。由于A和B是两个互不重合的点，所以OA和OB的长度不可能同时为0。因此，我们可以得到AB的长度不为0，那么根据AB² = OA² + OB²得到，OA² + OB²的长度不为0。所以，我们得出结论，当两个平面与同一条直线垂直相交时，OA和OB的长度都为0。然而，OA和OB的长度不可能同时为0，因此两个平面不可能重合，所以它们是互相垂直的。这样证明了平面与平面垂直的判定定理。

其他回答

造价工程师说

定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

其他回答

会计伯伯

1、定义法：如果两个平面所成的二面角为90°，那么这两个平面垂直。

2、判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3、如果一个平面内任意点在另外一个平面的射影均在这两个平面的交线上，那么垂直。

4、如果N个互相平行的平面有一个垂直于一个平面，那么其余平面均垂直这个平面。扩展资料定理——平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。例题：已知：a∥b，a∉α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。∴假设不成立，a∥α向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。∵b⊂α∴b⊥p，即p·b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb那么p·a=p·kb=kp·b=0即a⊥p∴a∥α