如何推导圆系方程

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精选答案

步骤/方式一圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆系方程都能用这个式子表达。

圆的一般方程：圆C1：x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0。圆C2：x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0。x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)。首先这个方程代表一个圆。其次，C1C2的交点A，B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0。而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0。把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。如果没有λ，就只能表示所有相交圆中的一个，而加入一个λ后只要λ取遍所有实数就可以表示完所有的圆，当然只要知道了这个圆经过的相交点以外的任何一个点就可以确定λ。λ就是一个参数，是一个可以改变的值。步骤/方式二圆系方程的推导过程1、设有两个圆C1: x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0与 C2 :x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0圆系方程就是过已知两个圆的交点的圆的方程x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0 (λ≠-1)2、首先这个方程代表一个圆。其次，C1C2的交点A,B满足这个方程。这是因为A在C1上，所以A的坐标代进C1的式子一定等于0而A也在C2上，所以A的坐标代进C2的式子一定等于0把C1的方程加上λ倍的C2的方程就是上面的圆系方程，所以A在圆系方程代表的圆上。同理，B也在圆系方程代表的圆上。所以圆系方程代表过C1C2交点的圆的方程。要注意的是，这个圆系方程不包括C2。因为不管λ取多少，D1，E1，F1这些C1中的量都不可能去掉，所以表示不了C2。但可以表示C1，只要取λ=0。