如何证明直线与圆相切则直线垂直于半径

问题描述

精选答案

利用切线的定义——在已知条件中有“半径与一条直线交于半径的外端”，于是只需直接证明这条直线垂直于半径的外端．

例1已知：△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F点，点P在BC的延长线上，且∠CAP=∠ABC．

证明：连接EC．

∵AE是⊙O的直径，

∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，

∴∠E=∠CAP，

其他回答

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反证法设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A。假设直线l不垂直于OA，过O作OM垂直l于M因为直线l不垂直于OA，所以三角形OMA是直角三角形，所以OA>OM（直角三角形斜边大于直角边）即圆心到直线l的距离小于圆半径，即直线l于圆相交，与假设矛盾，所以OA垂直于l即圆的切线垂直于圆的半径。